6.2 函数列一致收敛性

1．证明下列命题．
（1）证明 $\displaystyle S_{n}(x)=x^{n}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛，但在 $\displaystyle [0, b](0<b<1)$ 上一致收敛．
（2）证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}-x^{2 n}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛．

2．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x(1-x)^{n}, n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）在 $\displaystyle [0,1]$ 上收敛；（2）在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛，但在 $\displaystyle [\alpha, 1](\alpha>0)$ 上一致收敛；（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。

3．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(x^{n}-x^{2 n}\right), n=1,2, \cdots, x \in[0,1]$ ．（1）求函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 的极限函数；（2）证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 非一致收敛；（3）验证极限运算与积分运算不能交换顺序．

4．设 $\displaystyle f_{n}(x)=n^{c} x\left(1-x^{2}\right)^{n}, n=1,2, \cdots$ ，讨论函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的一致收敛性．

5．证明下列命题．
（1）证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=(1-x) x^{n}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 一致收敛，函数列 $\displaystyle g_{n}(x)=\left(1-x^{n}\right) x$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上连续。证明：（1）$\displaystyle \left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上收敛；（2）$\displaystyle \left\{f(x) x^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right]$ 上一致收敛的充要条件是 $\displaystyle f(1)=0$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续．证明：（1）$\displaystyle \left\{\sin ^{n} x\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上收敛，但在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上非一致收敛； （2）$\displaystyle \left\{\sin ^{n} x f(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上一致收敛的充要条件是 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ 。华中师大2006，漳州师院2006）

6．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos ^{n} x, n=1,2, \cdots, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ．（1）求极限函数 $\displaystyle f(x)$ ；（2）$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是否一致收敛？（3）是否有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\cos x+\cos ^{2} x+\cdots+\cos ^{n} x, n=1,2, \cdots$ ，当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的一致收敛性．

7．讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性．
（1）$\displaystyle f_{n}(x)=n^{\alpha} x \mathrm{e}^{-n x}, n=1,2, \cdots, x \in[0,+\infty)$（或 $\displaystyle [0,1]$ ）．（陕西师大 2012 ，电子科技 2004 ，西安电子科技 2001，温州大学 2011，广西大学 2006，南京师大 2005，武汉理工 2005，桂林电子科技 2010，湖南大学 2004，湖南大学 2008，四川大学 2010，湖北大学 $\displaystyle 2000 / 2011(\alpha=1)$ ，沈阳工大 $\displaystyle \left.2010\left(\alpha=2^{-1}\right)\right)$
（2）$\displaystyle f_{n}(x)=n x \mathrm{e}^{-n x}, n=1,2, \cdots$ ，（1）$\displaystyle x \in[0,1]$ ，（2）$\displaystyle x \in[1,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f_{n}(x)=n x \mathrm{e}^{-n x^{2}}, n=1,2, \cdots, x \in[0,1]$ ．
（4）$\displaystyle f_{n}(x)=n^{\alpha} x \mathrm{e}^{-n x^{2}}, n \geqslant 1, x \in[0,1]$ ．
（5）$\displaystyle f_{n}(x)=x \mathrm{e}^{-n x^{2}}, n \geqslant 1, x \in[-l, l]$ ．
（6）$\displaystyle f_{n}(x)=n \mathrm{e}^{-n x^{2}}, n \geqslant 1, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（7）$\displaystyle f_{n}(x)=n^{2} x \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}}, n \geqslant 1, x \in(0,1)$ ．
（8）$\displaystyle f_{n}(x)=x^{n} \mathrm{e}^{-n^{2} x}, n \geqslant 1, x \in(0,+\infty)$ ．（沈阳 工 大 2009）

8．讨论下列函数列在指定区间的一致收玫性．
（1）$\displaystyle f_{n}(t)=\frac{\sin n t}{n \sqrt{t}}, n \geqslant 1, t \in(0,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f_{n}(x)=\mathrm{e}^{-n^{2}|x|} \sin n x, n \geqslant 1, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle f_{n}(x)=\mathrm{e}^{-n|x|} \cos x, n \geqslant 1, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（4）$\displaystyle f_{n}(x)=\mathrm{e}^{-n x^{2}} \cos x, n \geqslant 1, x \in[-1,1]$ ．

9．设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{2} x^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）对任意的 $\displaystyle \alpha \in(0,1),\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [\alpha, 1]$ 上一致收敛于零；（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛；（3）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (1+\infty)$ 上一致收敛．

10．证明下列命题．
（1）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{n x+1}, n=1,2, \cdots$ ，证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致收敛．
（2）证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n x}{n x+1}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致收敛。
（3）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x}{1+n^{2} x^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致收敛；
$\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内非一致收敛．
（4）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x}{1+n^{3} x^{3}}, n=1,2, \cdots, x \in(0,+\infty)$ ，证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 一致收敛于 0 ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。
（5）证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\arctan \left(x+\frac{1}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛 ．

11．设 $\displaystyle f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{l}1-n x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{n}, \\ 0, \frac{1}{n} \leqslant x \leqslant 1,\end{array}\right.$ ，证 明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上非 一 致 收 敛，但
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ ．

12．讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性．
（1）$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{\alpha^{n} x}{1+n \alpha^{n} x^{2}},(\alpha>0), n=1,2, \cdots$ ．（1）$\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ ；（2）$\displaystyle x \in(-\infty, \delta) \cup(\delta,+\infty), \delta>0$ ．
（2）$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{1+x^{n}}, n=1,2, \cdots$ ．（1）$\displaystyle x \in[0,1-\varepsilon]$ ；（2）$\displaystyle x \in[1-\varepsilon, 1+\varepsilon]$ ；（3）$\displaystyle x \in[1+\varepsilon,+\infty), \varepsilon \in(0,1)$ ．

13．讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性．
（1）$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x(\ln n)^{\alpha}}{n^{x}}, n=1,2, \cdots, x \in[0,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x}{n} \ln \frac{x}{n}, n=1,2, \cdots, x \in(0,1)$ ．

14．设 $\displaystyle x \leqslant f_{1}(x) \leqslant \sqrt{x}, f_{n}(x)=\sqrt{x f_{n-1}(x)}, x \in[0,1], n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为单调有界数列；（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

15．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle f(x)>0, g_{n}(x)=\sqrt[n]{f(x)}, n=1,2, \cdots$ ．证明：$\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于1．

16．设函数 $\displaystyle f_{0}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f_{n}(x)=\int_{a}^{x} f_{n-1}(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 0 ．（重庆大学 2014／2011，山东师大 2013，中南大学 2010，中山大学 2005（A），上海大学 2005，河南师大 2008，西北大学 2001／2009，南京理工 2004，湖南大学 2002／2003，西南大学 2003，清华大学 2003，天津大学 2001 ，兰州大学 2006 ，地质大学 2005 ，沈阳 工 2010 ，南京农大 2007，南京财大 2007，华南理工 2006，北京工大 2005，北航 1998／1999／2001，大连海事 2005，河海大学 2007，湖南师大 2005／2013，陕西师大1999，首都师大2012，西南交大2005／2006，新疆大学2004，郑州大学1997，杭州大学2007，山西师大2007，湘潭大学 2005，北京科技 2013，厦门大学 2010）

17．设 $\displaystyle u_{0}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle G(x, t)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, b] \times[a, b]$ 上连续，对 $\displaystyle \forall x \in[a, b]$ ，设 $\displaystyle u_{n}(x)=\int_{a}^{x} G(x, y) u_{n-1}(y) \mathrm{d} y, n \geqslant 1$ 。证明：$\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 0．

18．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，令 $\displaystyle f_{n}(t)=\int_{0}^{T} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x, t \in[0,1], n=1,2, \cdots$ ，证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(t)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$上一致收敛于 $\displaystyle g(t)=t f(0)$ ．

19．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant B$ 。证明：函数列 $\displaystyle F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛。
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle [a, b] \times[c, d]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle a \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant b$ ，函数列 $\displaystyle \left\{\psi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle c \leqslant \psi_{n}(x) \leqslant d$ 。证明：函数列 $\displaystyle F_{n}(x)=f\left(\varphi_{n}(x), \psi_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 $\displaystyle \left[x_{0}-a, x_{0}+a\right] \times\left[y_{0}-b, y_{0}+b\right]$ 上连续，函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle \left[x_{0}-a, x_{0}+a\right]$ 上一致收敛 $\displaystyle \varphi(x)$ ，且 $\displaystyle y_{0}-b \leqslant \varphi_{n}(x) \leqslant y_{0}+b$ 。证明：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f\left(t, \varphi_{n}(t)\right) \mathrm{d} t=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{x_{0}}^{x} f(t, \varphi(t)) \mathrm{d} t .
$$

20．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x+\frac{k}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续。证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任意有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．（厦门大学 2014 ，北京师大 2002 ，北京大学 2010 ，云南大学

2009，湖北大学 2005，深圳大学 2007，首都师大，中科院 1997，青岛大学 2004，天津大学 2011，兰州大学 $\displaystyle (f(x)=\cos x))$

分析：从函数列的结构可以计算出和函数为 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x+t) \mathrm{d} t$ ，因此可以利用形式统一法．

21．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b+1)$ 上有连续导数 $\displaystyle (a<b)$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle x \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ；（2）对任何 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\alpha}^{\beta} f_{n}(x) \mathrm{d} x=f(\beta)-f(\alpha)$ ．
（2）设 $\displaystyle f \in C^{\prime}(I), I$ 是有界闭区间，$\displaystyle F_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛．如果 $\displaystyle I$ 是有界开区间，问 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上是否仍然一致收敛？说明理由．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x)=\mathrm{e}^{n}\left(f\left(x+\mathrm{e}^{-n}\right)-f(x)\right)$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任一有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 内一致收敛于 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有连续导函数，定义 $\displaystyle F_{n}(x)=\frac{n}{2}\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f\left(x-\frac{1}{n}\right)\right] x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上处处收敛且内闭一致收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, M+1]$ 上连续，记 $\displaystyle f_{n}(x)=n\left(\int_{0}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right) x \in[0, M]$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0, M]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，定义 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n}{2} \int_{-\frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} f(x+t) \mathrm{d} t, n=1,2, \cdots, x \in[a, b]$ ， $\displaystyle n=1,2 \cdots$ ．证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．

分析：从形式看，函数列均为差商的形式，其极限函数与导数有关．

22．证明下列结论．
（1）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：若每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle I$ 上连续，则
$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上连续．
（2）设 $\displaystyle u_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上处处收敛，而且一致收敛，求证：其和函数 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．

23．证明下列结论．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：若每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续。
（2）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ，如果每个 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续，证明 $\displaystyle s(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致连续．（武汉大学 $\displaystyle 2011(I=R)$ ，中南大学 $\displaystyle 2011(I=R)$ ，苏州大学 2006，华中科技 $\displaystyle 2007(I=(0,1))$ ，沈阳工大2007，北京交大2006，西北师大2009（I＝［a，b］））
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．
（4）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收玫于 $\displaystyle s(x)$ ．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a, x=b$ 收敛；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续；（3）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

24．设 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，为 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的一致连续函数，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \forall x \in \mathbf{R}^{1}$ ，问：$\displaystyle f(x)$ 是否为连续函数？若答案为＂是＂，请给出证明；若答案为＂否＂，请给出反例．

25．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$在 $\displaystyle [a, b]$ 上等度连续（即 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $\displaystyle \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b],\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，对任意自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ）。

26．设可积函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ；（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致可积。

这 里 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一 致 可 积 指：对于 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ 使 得 对 任 意 分 割 $\displaystyle T: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{k}=b$ ，当 $\displaystyle \max _{1<i<k} \Delta x_{i}<\delta$ 时，对任意 $\displaystyle \xi_{i} \in\left[x_{i-1}, x_{i}\right](1 \leqslant i \leqslant k)$ 及任意自然数 $\displaystyle n$ 有
$\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x-\sum_{i=1}^{k} f_{n}\left(\xi_{i}\right) \Delta x_{i}\right|<\varepsilon$ ．（重庆大学 2008，华南理工 2012，华东师大 2010，深圳大学 2013（对函数项级数））

27．设 $\displaystyle \left\{s_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的函数列，$\displaystyle s_{n}(x)$ 在任何有限区间 $\displaystyle [A, B]$ 上 Riemann 可积且一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ，若存在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上广义积分收敛的函数 $\displaystyle F(x), \forall n$ 及 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ 有 $\displaystyle \left|s_{n}(x)\right| \leqslant F(x)$ ，证 明：（1）$\displaystyle \left|s_{n}(x)\right|$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可积；（2）$\displaystyle s(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可积； （3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} s_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} s(x) \mathrm{d} x$ 。

28．证明下列结论．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，假定每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不处处为负．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上不处处为负．
（2）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上均有零点．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有一个零点．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若 $\displaystyle \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x \geqslant 0$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right) \geqslant 0$ ．
（4）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无零点，证明：（1）当 $\displaystyle n$ 充分大时，$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 也无零点。（2）证明：$\displaystyle \left\{\frac{1}{f_{n}(x)}\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ ．

29．证明下列结论．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。
（2）设 $\displaystyle \left\{S_{n}(x)\right\}$ 是函数项级数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(x)$ 的前 $\displaystyle n$ 项部分和函数列，每个 $\displaystyle S_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} u_{k}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle S(x)$ ．又 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\left(x_{n}\right)=S\left(x_{0}\right)$ ．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个函数连续，若存在 $\displaystyle x_{n} \in[a, b]$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=A$ 。证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=A$ 。

30．设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle U\left(x_{0}, \delta\right)(\delta>0)$ 内一致收敛，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f_{n}(x)=a_{n}, n \in \mathbf{N}$ ．证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$收玫．

31．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(b)\right\}$ 发散．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上非一致收敛．
（2）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=b$ 发散。证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b)$ 非一致收敛。
（3）设 $\displaystyle S_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=c$ 上左连续，且 $\displaystyle \left\{S_{n}(c)\right\}$ 发散。证明：在任何开区间 $\displaystyle (c-\delta, c)(\delta>0)$ 内 $\displaystyle \left\{S_{n}(x)\right\}$ 非一致收敛．
（4）设每个 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=c$ 连续，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=c$ 发散，则 $\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (c, c+\delta)$ 上均非一致收敛．讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\sin x+\cos x)^{n}}$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内是否一致收敛．
（5）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b]$ 上连续，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上收玫，根据 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 的玫散性，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$在（ $\displaystyle a, b$ ）上的一致敛散性．
（6）设 $\displaystyle h_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b)$ 连续，且 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant h_{n}(x) \leqslant g_{n}(x), \forall x \in[a, b)$ ．若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} g_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上收玫，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} h_{n}(a)$ 发散，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} h_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上收玫；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} h_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$上非一致收玫．
（7）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(a), \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收敛．

32．证明下列结论．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 有界。证明： （1）极限函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 有界；（2）函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 一致有界，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{a<x<b} f_{n}(x)=\sup _{a<x<b} f(x)$ ．
（2）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，若 $\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x)>0$ ．证明：$\displaystyle \exists N, \delta>0$ ，使得 $\displaystyle \forall x \in[a, b], n>N$ 时有 $\displaystyle f_{n}(x)>\delta$ ．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且存在数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 使得 $\displaystyle \forall x \in I$ ，总有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant a_{n}$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上有界．

33．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：（1） $\displaystyle \exists M>0$ ，使得 $\displaystyle \forall n \geqslant 1, \forall x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M,|f(x)| \leqslant M$ ；（2）若 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，则 $\displaystyle g\left(f_{n}(x)\right)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle g(f(x))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $\displaystyle R=+\infty$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}$ ，试证明：$\displaystyle \left\{f\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(f(x))$ ，其中 $\displaystyle [a, b]$ 为任一有穷闭区间．
（3）设 $\displaystyle f(u)$ 在区间 $\displaystyle J$ 上一致连续，函数列 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(x)$ ，当 $\displaystyle x \in I$时，$\displaystyle g(x) \in J$ ，且存在正整数 $\displaystyle N$ ，使得 $\displaystyle n>N$ 及 $\displaystyle x \in I$ 时 $\displaystyle g_{n}(x) \in J$ ，证明 $\displaystyle \left\{f\left(g_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(g(x))$ ．

34．证明下列结论．
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上分别一致收敛于 $\displaystyle f(x), g(x)$ ．假定 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 都在 $\displaystyle I$ 上有界，证明：
（1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x) g(x)$ ；
（2）如果 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上分别收敛于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ，能否保证必有 $\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x) g(x)$ ，请说明理由。
（3）举例说明：对（1）中的结论，＂$\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上有界＂条件不可去。浙江大学2007，安徽师大 2008）
（2）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界连续，且分别一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x) g(x)$ 。如果 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\},\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上不是有界函数列，举例说明上述结论不一定成立。
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上分别一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ，假定存在正数 $\displaystyle \left\{M_{n}\right\}$ 使 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M_{n},\left|g_{n}(x)\right| \leqslant M_{n}, x \in[a, b], n=1,2,3, \cdots$ 。证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x) g(x)$ ．
（4）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上分别一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ．证明：函数列 $\displaystyle \max \left\{f_{n}(x), g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle I$ 上一致收敛于 $\displaystyle \max \{f(x), g(x)\}$ 。

35．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有任意阶导数 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，且对任意有界闭区间 $\displaystyle [a, b],\left\{f^{(n)}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \varphi(x), n>\infty$ 。证明 $\displaystyle \varphi(x)=C \mathrm{e}^{x}, C$ 为常数．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非恒为零，存在任意阶导数 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，且对任意 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ ， $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)-f^{(n-1)}(x)\right|<\frac{1}{n^{2}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f^{(n)}(x)=C \mathrm{e}^{x}, C$ 为常数．，

36．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收玫于 $\displaystyle f(x)$ 且有性质：

$$
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a, b]:\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta \text { 有 }\left|f_{n}\left(x^{\prime}\right)-f_{n}\left(x^{\prime \prime}\right)\right| \leqslant \varepsilon, n=1,2, \cdots
$$


用有限覆盖定理证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．

37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且可导，且 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 点收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．试证：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续；（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设可微函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛，且对任意 $\displaystyle x \in[a, b]$ 存在 $\displaystyle x$ 的邻域 $\displaystyle U(x)$ ，使得 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界，证明：（1）$\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界。（2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，存在 $\displaystyle \alpha \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant|x-y|^{\alpha}$ ， $\displaystyle \forall x, y \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，且逐点有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ 。证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。
（4）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足李普希茨条件，即 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant c_{n}|x-y|$ ，
$\displaystyle \forall x, y \in[a, b]$ ，其中 $\displaystyle c_{n}$ 为与 $\displaystyle x, y$ 无关的常数。证明：如果 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 为有界数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足条件：$\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant k|x-y|, \forall x, y \in[a, b], n=1,2, \cdots$ ，且在 $\displaystyle [a, b]$上，$\displaystyle f_{n}(x)$ 收敛于 $\displaystyle f(x), n \rightarrow \infty$ 。证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。华东师大 2015 ，北京师大2000，哈工大2004，武汉大学1997）
（6）设函数列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle \exists M>0$ ，对 $\displaystyle \forall n \in \mathrm{~N}^{+}$有 $\displaystyle \left|\sum_{k=1}^{n} u_{k}^{\prime}(x)\right| \leqslant M$ 。证明：如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫，则必一致收敛．
（7）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上满足条件：$\displaystyle \left|u_{n}(x)-u_{n}(y)\right| \leqslant \frac{1}{2^{n}}|x-y|, n=1,2, \cdots$ ，且在 $\displaystyle [a, b]$ 上 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$逐点收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。
（8）设函数 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 可导，且 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上一致有界， $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致有界，试证函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有一致收敛的子列。华东师大 2015，厦门大学 2013，兰州大学 2011）

38．证明下列结论（Dini 定理）。
（1）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件：
i）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x), x \in[a, b]$ ；ii）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 点点收敛于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ ．

39．证明下列结论．
（1）证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x}}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1+\ln \frac{2}{1+\mathrm{e}}$ ．
（2）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \mathrm{~d} x=1$ ．
（3）证明函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{1}{1+\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}, n \geqslant 1$ ，在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 的任何闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。

40．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\arctan \left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛．（中北大学 2005（B））
（2）$\displaystyle S_{n}(x)=n \ln \left(1+\frac{x}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，（1）$\displaystyle x \in[0, a], a>0$ ；（2）$\displaystyle x \in[0,+\infty)$ ．

41．证明下列结论．
（1）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f_{n}(x) \leqslant f_{n+1}(x)$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最小值．
（2）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且满足：
i）$\displaystyle \forall x \in[a, b], f_{1}(x) \geqslant f_{2}(x) \geqslant \cdots \geqslant f_{n}(x) \geqslant \cdots$ ，ii）$\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$ 处处收敛。

试证：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必有最大值．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是非负连续函数，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$取到最小值．

42．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，其中每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都是单调函数，若 $\displaystyle f(x)$ 连续，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．

43．证明下列结论．
（1）假定函数 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内单调增加，且 $\displaystyle u_{n}(x) \geqslant 0, n=1,2, \cdots$ ．又假定级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内逐点收敛，并且有上界．那么 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内一致收敛，并且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow 1^{-}} u_{n}(x)$.
（2）设 $\displaystyle u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非负且单调递增，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x), x \in(0,+\infty), f(x)$ 有界，证明： $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 一致收玫于 $\displaystyle f(x)$

44．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数列，且 $\displaystyle f_{n}(x) \geqslant 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ ．对任 意 $\displaystyle \delta>0,\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-\delta] \bigcup[\delta, 1]$ 上一致收玫于零。求证：对任意 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x), ~ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=g(0)$ 。

分析：由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} g(0) f_{n}(x) \mathrm{d} x=g(0)$ ．问题转证：

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f_{n}(x)(g(x)-g(0)) \mathrm{d} x=0 .
$$

45．设函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 满足：
（1）$\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [-1,1]$ 上的可积函数列，且在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致有界；
（2）任意 $\displaystyle c \in(0,1),\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-c]$ 和 $\displaystyle [c, 1]$ 上一致收敛于零，

46．设 $\displaystyle \varphi_{n}(x)=\left\{\begin{array}{l}(1-x)^{n}, 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ \mathrm{e}^{n x},-1 \leqslant x \leqslant 0,\end{array} f(x)\right.$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上可积．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(x)$ ，并讨论 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的一致收敛性；
（2）又若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 还是连续的，求证 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)$ ；
（3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} f(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x$（要说明理由）．

47．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负可积函数序列，$\displaystyle k=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 存在。若 $\displaystyle \forall \alpha \in(0,1]$ 有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{\alpha}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意一个 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x)$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=k g(0)$ ． （中南大学 2005，东华大学 1999（ $\displaystyle k=1$ ））

48．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是定义在 $\displaystyle (a, b]$ 上的连续函数列，$\displaystyle f_{n}(x) \geqslant 0, \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ 在 $\displaystyle (a, b]$ 上广义可积，对任意 $\displaystyle \delta>0, \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a+\delta}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．若 $\displaystyle g(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a)$ ．

49．设 $\displaystyle \phi(x), f(x)$ 是连续函数，且有 $\displaystyle R>0$ ，当 $\displaystyle |x| \geqslant R$ 时，$\displaystyle \phi(x)=0$ ，证明：（1）$\displaystyle \phi(x) f\left(\frac{x}{n}\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛于 $\displaystyle \phi(x) f(0)$ ；（2）若 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(x) \mathrm{d} x=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(n x) f(x)=f(0)$ ．

50．设 $\displaystyle h(x), f_{n}^{\prime}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．又对 $\displaystyle [a, b]$ 中任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 和正整数 $\displaystyle n$ 有

$$
\left|f_{n}\left(x_{1}\right)-f_{n}\left(x_{2}\right)\right| \leqslant \frac{M}{n}\left|x_{1}-x_{2}\right| \text {, 其中 } M>0 \text { 为常数. }
$$


求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} h(x) f_{n}^{\prime}(x) \mathrm{d} x=0$ ．

51．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，且在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1-\frac{1}{n}} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。

52．设 $\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ ，在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$ 关于 $\displaystyle n$ 一致收敛。又对任意 $\displaystyle M>a,\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, M]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：（1）反 常积 分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收 敛； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 。武汉大学 1995）

53．设连续函数序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x, y)\right\}$ 在有界闭区域 $\displaystyle D$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x, y)$ ，证明：

$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D} f_{n}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \text { }
$$

54．判断题．
（1）函数序列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}, x \in[a, b]$ ，满足对任意的自然数 $\displaystyle p$ 和任意 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有以下性质： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n}(x)-u_{n+p}(x)\right|=0$ ，则 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 一致收玫．